4.2 Modelos estacionários lineares para séries temporais onde a variável aleatória é chamada de inovação porque representa a parte da variável observada que é imprevisível, dado os valores passados. O modelo geral (4.4) assume que é a saída de um filtro linear que transforma as inovações passadas, ou seja, é um processo linear. Este pressuposto de linearidade é baseado no teorema de decomposição de Wolds (Wold 1938) que diz que qualquer processo discreto de covariância estacionária pode ser expresso como a soma de dois processos não correlacionados, onde é puramente determinista e é um processo puramente indeterminista que pode ser escrito como linear Soma do processo de inovação: onde é uma seqüência de variáveis aleatórias não correlacionadas em série com média zero e variância comum. A condição é necessária para a estacionararia. A formulação (4.4) é uma reparametrização finita da representação infinita (4.5) - (4.6) com constante. Geralmente, é escrito em termos do operador de lag definido por, que dá uma expressão mais curta: onde os polinômios do operador de atraso e são chamados de polinômio e polinômio, respectivamente. Para evitar a redundância de parâmetros, assumimos que não existem fatores comuns entre os componentes e os componentes. Em seguida, estudaremos o enredo de algumas séries temporais geradas por modelos estacionários com o objetivo de determinar os principais padrões de sua evolução temporal. A Figura 4.2 inclui duas séries geradas a partir dos seguintes processos estacionários computados por meio do gencher quantlet: Figura 4.2: séries temporais geradas por modelos Como esperado, ambas as séries temporais se movem em torno de um nível constante sem alterações de variação devido à propriedade estacionária. Além disso, esse nível é próximo ao meio teórico do processo, e a distância de cada ponto para esse valor é muito raramente fora dos limites. Além disso, a evolução da série mostra as saídas locais da média do processo, que é conhecido como o comportamento de reversão médio que caracteriza as séries temporais estacionárias. Vamos estudar com algum detalhe as propriedades dos diferentes processos, em particular, a função de autocovariância que captura as propriedades dinâmicas de um processo estocástico estacionário. Esta função depende das unidades de medida, de modo que a medida usual do grau de linearidade entre as variáveis é o coeficiente de correlação. No caso de processos estacionários, o coeficiente de autocorrelação no lag, denotado por, é definido como a correlação entre e: Assim, a função de autocorrelação (ACF) é a função de autocovariância padronizada pela variância. As propriedades do ACF são: Dada a propriedade de simetria (4.10), o ACF geralmente é representado por meio de um gráfico de barras nos atrasos não negativos que se chama correlograma simples. Outra ferramenta útil para descrever a dinâmica de um processo estacionário é a função de autocorrelação parcial (PACF). O coeficiente de autocorrelação parcial em lag mede a associação linear entre e ajustado para os efeitos dos valores intermediários. Portanto, é apenas o coeficiente no modelo de regressão linear: as propriedades do PACF são equivalentes às da ACF (4.8) - (4.10) e é fácil provar isso (Box e Jenkins, 1976). Como o ACF, a função de autocorrelação parcial não depende das unidades de medida e é representada por meio de um gráfico de barras nos atrasos não negativos que se chama correlograma parcial. As propriedades dinâmicas de cada modelo estacionário determinam uma forma particular dos correlogramas. Além disso, pode-se mostrar que, para qualquer processo estacionário, ambas as funções, ACF e PACF, aproximam-se de zero à medida que o atraso tende para o infinito. Os modelos nem sempre são processos estacionários, pelo que é necessário primeiro determinar as condições de estacionaridade. Existem subclasses de modelos que possuem propriedades especiais para estudá-las separadamente. Assim, quando e, é um processo de ruído branco. Quando, é um processo de ordem média móvel puro. , E quando é um processo autoregressivo puro de ordem. . 4.2.1 Processo de ruído branco O modelo mais simples é um processo de ruído branco, onde é uma seqüência de variáveis médias zero não correlacionadas com variação constante. É denotado por. Esse processo é estacionário se sua variância for finita, já que: verifica condições (4.1) - (4.3). Além disso, não está correlacionado ao longo do tempo, então a função de autocovariância é: a Figura 4.7 mostra duas séries temporais simuladas geradas a partir de processos com média e parâmetros zero e -0,7, respectivamente. O parâmetro autorregressivo mede a persistência de eventos passados nos valores atuais. Por exemplo, se um choque positivo (ou negativo) afeta positivamente (ou negativamente) por um período de tempo maior, maior o valor de. Quando, a série se move mais grosseiramente em torno da média devido à alternância na direção do efeito de, isto é, um choque que afeta positivamente no momento, tem efeitos negativos sobre, positivos. O processo é sempre inversível e está parado quando o parâmetro do modelo é constrangido para ficar na região. Para provar a condição estacionária, primeiro escrevemos a forma média móvel por substituição recursiva de (4.14): Figura 4.8: correlogramas de população para processos, ou seja, é uma soma ponderada de inovações passadas. Os pesos dependem do valor do parâmetro: quando, (ou), a influência de uma determinada inovação aumenta (ou diminui) ao longo do tempo. Levando expectativas para (4.15) para calcular a média do processo, obtemos: Dado que, o resultado é uma soma de termos infinitos que converge para todo o valor somente se, nesse caso. Um problema semelhante aparece quando calculamos o segundo momento. A prova pode ser simplificada assumindo que, isto é,. Então, a variância é: novamente, a variância vai para o infinito, exceto para, nesse caso. É fácil verificar que tanto a média quanto a variância explodem quando essa condição não se mantém. A função de autocovariância de um processo estacionário é, portanto, a função de autocorrelação para o modelo estacionário é: ou seja, o correlograma mostra uma decomposição exponencial com valores positivos sempre se for positivo e com oscilações positivas negativas se for negativo (ver figura 4.8). Além disso, a taxa de decadência diminui à medida que aumenta, portanto, quanto maior o valor, maior será a correlação dinâmica no processo. Finalmente, há um corte na função de autocorrelação parcial no primeiro intervalo. Figura 4.9: correlogramas da população para os processos Pode-se mostrar que o processo geral (Box e Jenkins 1976): é estacionário somente se as raízes da equação característica do polinômio estiverem fora do círculo da unidade. A média de um modelo estacionário é. É sempre inversível para qualquer valor dos parâmetros. Sua ACF vai para zero de forma exponencial quando as raízes são reais ou com flutuações de onda de seno-cosseno quando elas são complexas. Seu PACF tem um corte no atraso, ou seja. Alguns exemplos de Os correlogramas para modelos mais complexos, como o, podem ser vistos na figura 4.9. Eles são muito semelhantes aos padrões quando os processos têm raízes reais, mas tomam uma forma muito diferente quando as raízes são complexas (veja o primeiro par de gráficos da figura 4.9). 4.2.4 Modelo Médio Autoregressivo O Modelo de Ordem Gerencial Autoregressivo Geral (ordem finita) de ordens é: Publicação Ciência e Educação É bastante óbvio que as ACFs em (1.4) e a (1.8) todas cortadas depois Lag dois. Isso é indicativo do fato de que um processo médio móvel de ordem dois e um processo diagonal de séries temporais diagonal puro de ordem dois têm estruturas de autocorrelação semelhantes. Como resultado, existe uma possibilidade de classificação incorreta de um processo bilinear diagonal puro de ordem dois como um processo médio móvel de ordem dois. A facilidade com que os modelos lineares são ajustados ea prática de aproximação de modelos não-lineares por modelos lineares também pode causar a falta de especificação do processo bilineal diagonal puro não-linear de ordem dois. Do que precede, é imperativo investigar a implicação estatística da classificação errada do modelo acima mencionado. A este respeito, iremos nos concentrar na função de penalidade associada à classificação errada de um processo PDB (2) como um processo MA (2). 2. Relação entre os Parâmetros do Processo Bililear Diagonal Puro da Ordem Dois e Processo Médico em Movimento da Ordem Dois Tendo observado que o processo médio móvel da ordem dois e puro processo diagonal bilinear de ordem dois possui estruturas de autocorrelação semelhantes, vale a pena derivar A relação entre os parâmetros dos dois modelos. Esses relacionamentos nos ajudarão a obter a função de penalidade para classificar incorretamente o modelo não-linear como o modelo linear concorrente. O método dos momentos que envolve a equação do primeiro e segundo momentos do modelo bilinear diagonal puro para os momentos correspondentes do processo médio móvel não zero de ordem dois deve ser utilizado para esse fim. Equacionar significa que temos variações equativas, obtemos Considerando a tabela completa contendo 2129 conjuntos de valores, podemos ver que a função de penalidade para classificação errada de um processo PDB (2) como um processo MA (2) (P) assume valores positivos Para todos os valores de,. . O valor positivo da penalidade por classificação errada de um processo PDB (2) como um processo MA (2) mostra que essa classificação errada leva a aumentar a variação dos erros. Este achado concorda com os resultados obtidos em 6 em relação à classificação errada de um processo PDB (1) como um processo MA (1). Para fins preditivos, temos que encontrar a relação entre P e. Primeiro, planejamos P em relação a cada um. A Figura 1 mostra a trama de P contra. Tabela 1. Penalidades para vários Valores de Parâmetros de Processo de MA (2) e PDB (2) O valor de p de 0,00 na Tabela 3 implica que o modelo de regressão ajustado é adequado para descrever a relação entre P e. 4. Conclusão Neste estudo, determinamos o efeito de classificação incorreta de um processo diagonal bilinear puro de ordem dois como um processo médio móvel de ordem dois. Foi definida uma função de penalidade e foi utilizada para calcular penalidades para classificação errada do processo bilinear diagonal puro de ordem dois como o processo médio móvel de ordem dois com base em vários conjuntos de valores dos parâmetros dos dois processos. As penalidades calculadas assumiram valores positivos. Isso indicou aumento na variação de erro devido à classificação errada do processo bilinear diagonal puro de ordem dois como um processo médio móvel de ordem dois. Um modelo de regressão quadrática foi encontrado adequado para prever as penalidades com base nos parâmetros do processo bilinear diagonal puro de ordem dois. Referências Bessels, S. (2006). Um passo além da equação solvente. Staff. science. uu. ncAfstudeerscriptieSanderBessels. pdf (Este site foi visitado em junho de 2013). Box, G. E. P. Jenkins, G. M. e Reinsel, G. C. (1994). Análise de séries temporais: previsão e controle. 3º ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.2.1 Modelos em média móvel (modelos MA) Os modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e termos móveis em média. Na semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor remanescente de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos médios móveis. Um termo médio móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Deixe (wt overset N (0, sigma2w)), o que significa que o w t é idêntico, distribuído independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) O modelo de média móvel da ordem q , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele flip os signos algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (desactuados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se os sinais negativos ou positivos foram usados para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra ACF com autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice para este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo de MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (com o excesso de N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por um gráfico deste ACF segue. O enredo que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra geralmente não fornece um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito dessa trama. A amostra ACF para os dados simulados segue. Vemos um pico no intervalo 1 seguido de valores geralmente não significativos para atrasos após 1. Observe que o ACF de amostra não corresponde ao padrão teórico da MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações por atrasos após 1 serão 0 . Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria os mesmos recursos amplos. Propriedades terapêuticas de uma série de tempo com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores não nulos no ACF teórico são para atrasos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos superiores são 0 . Assim, uma amostra de ACF com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas as autocorrelações não significativas para atrasos maiores indicam um possível modelo de MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são de 1 0,5 e 2 0,3. Uma vez que este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não-zero são A Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados da amostra não se comportam tão perfeitamente quanto a teoria. Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). A série de séries temporais dos dados segue. Tal como acontece com a série de séries temporais para os dados da amostra MA (1), você não pode contar muito com isso. A amostra ACF para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo de MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2 seguidos de valores não significativos para outros atrasos. Observe que, devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para General MA (q) Modelos Uma propriedade de modelos de MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros intervalos de q e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não singularidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) em MA (1) Modelo. No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E depois use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0.4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Nós restringimos os modelos de MA (1) para ter valores com valor absoluto inferior a 1. No exemplo que acabamos de dar, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 10.5 2 não irá. Invertibilidade de modelos de MA Um modelo de MA é considerado inversível se for algébricamente equivalente a um modelo de AR de ordem infinita convergente. Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0, enquanto nos movemos para trás no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em software de série temporal usado para estimar os coeficientes de modelos com termos MA. Não é algo que buscamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são apresentadas no apêndice. Nota de teoria avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo inversível. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes possuem valores tais que a equação 1- 1 y-. - q e q 0 possui soluções para y que se encontram fora do círculo da unidade. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. trama (Lag, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Nomeado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de parcela (o comando 3) representa atrasos em relação aos valores ACF para os atrasos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF, use simplesmente o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 acrescenta 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostra simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Simulated MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Variance: (texto (texto) (mu wt theta1 w) Texto de 0 texto (wt) (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 . A razão é que, por definição de independência do peso. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w t tem 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo de MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes de AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem, demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituímos a relação (2) para w t-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) No momento t-2. A equação (2) torna-se então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Se continuássemos ( Infinitamente), obteríamos o modelo de AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Note, no entanto, que se 1 1, os coeficientes que multiplicam os atrasos de z aumentarão (infinitamente) de tamanho à medida que avançarmos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo de MA reversível (1). Modelo de ordem infinita MA Na semana 3, veja que um modelo de AR (1) pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w) Este somatório de termos de ruído branco passados é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos que retornam no tempo. Isso é chamado de uma ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recorde na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Este último passo usa um fato básico sobre séries geométricas que requerem (phi1lt1) caso contrário a série diverge. Navegação
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